Як обчислити математичне очікування

Математичне очікування - термін теорії ймовірностей, призначений для оцінки середнього значення статистичної вибірки і визначення похибки вимірювань. Це поняття також називають центром розподілу випадкової величини.

Обчислення математичного очікування випадкової величини є одним з основних етапів оцінки ступеня її відхилення від справжнього значення. Під час побудови ймовірнісної моделі вимірюваного параметра ця числова характеристика показує, наскільки далеко від істини її середнє очікуване значення.

Щоб обчислити математичне очікування, необхідно розглянути вибірку значень функції розподілу випадкової величини. Елементи цієї функції представляють собою ймовірності, з якими величина виявиться рівною тому чи іншому значенню з безлічі X.

Очевидно, що вибірка значень (результатів серії вимірювань) аналізованого параметра є числовим рядом. Отже, щоб знайти його середнє значення, необхідно визначити інтегральну суму цього ряду. Це призводить до операції інтегрування і використання формули Лебега-Стільтьєса:M = ∫xdF (x).

Розділяють поняття математичного очікування дискретної і цілої величини. Перше випливає з інтеграла, наведеного вище, і являє собою підсумовування попарних творів відповідних один одному елементів двох безліч: вибірки параметрів і масиву ймовірностей, з якими ці значення можуть прийняти випадкова величина. Тоді формула виглядає наступним чином:М = ^ xi • pi, де i - індекс суми, що належить інтервалу від 1 до нескінченності

. Математичне очікування цілої величини дорівнює першій похідній функції послідовності. При цьому очевидно, що ціла величина має розподіл ймовірностей, що дорівнює ^ pi = 1, тому в продифференційовану функцію підставляється значення, рівне x = 1. Тоді формула приймає вигляд:M = P "(1) =

^ k • p _ k.Необхідно пам'ятати, що виконуюча функція послідовності сама по собі є числовим рядом, тому від його схожості залежить, чи існує кінцеве значення математичного очікування. Якщо ж ряд розходиться, то ця характеристика випадкової величини дорівнює нескінченності, тобто не визначена.


COM_SPPAGEBUILDER_NO_ITEMS_FOUND